{"id":7616,"date":"2025-11-28T16:03:05","date_gmt":"2025-11-28T15:03:05","guid":{"rendered":"https:\/\/web-dev-weissblau.de\/microconsult\/?p=7616"},"modified":"2026-02-13T19:43:21","modified_gmt":"2026-02-13T18:43:21","slug":"fixed-point-arithmetic-is-easier-than-you-think","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.microconsult.de\/en\/festkomma-arithmetik-einfacher-als-man-glaubt\/","title":{"rendered":"Fixed-point arithmetic \u2013 easier than you think"},"content":{"rendered":"

Einsatz in eigenen Algorithmen und Bibliotheken<\/strong><\/p>\n

Autor: Ferdinand Englberger, Universit\u00e4t der Bundeswehr M\u00fcnchen<\/p>\n

Beitrag – Embedded Software Engineering Kongress 2018<\/h3>\n

Obwohl immer mehr Mikrocontroller \u00fcber Gleitkommarechenwerke verf\u00fcgen,\u00a0wird Festkomma-Arithmetik in vielen Bibliotheken z.\u00a0B. f\u00fcr digitale Signalverarbeitung, f\u00fcr neuronale Netze oder in Regelungsalgorithmen eingesetzt. Die Befehlss\u00e4tze der Prozessoren haben Erweiterungen zum Umgang mit Festkommazahlen und erm\u00f6glichen mit SIMD-Instruktionen deren effektive Verarbeitung. Es werden die Grundlagen der Festkomma-Arithmetik erl\u00e4utert und damit das notwendige Verst\u00e4ndnis geschaffen, um diese Arithmetik in eigenen Algorithmen und in Bibliothekfunktionen effektiv einsetzen zu k\u00f6nnen.<\/strong><\/p>\n

Durch die direkte Unterst\u00fctzung der Prozessoren von Gleitkomma-Arithmetik ist es f\u00fcr den Entwickler leicht, Algorithmen zu implementieren. Aus Effizienzgr\u00fcnden werden hierbei Gleitkommazahlen mit einfacher Genauigkeit eingesetzt. Dabei wird leicht \u00fcbersehen, dass bei Verwendung dieses Zahlentyps Fehler entstehen k\u00f6nnen, die zum Verlust des gew\u00fcnschten Designziels f\u00fchren. In Abbildung\u00a01 (s.\u00a0PDF<\/a>) ist dies an einem einfachen Beispiel verdeutlicht. Die Addition von kleinen Zahlenwerten mit anschlie\u00dfender Addition eines gro\u00dfen Werts f\u00fchrt zum gew\u00fcnschten Ergebnis. Bei der umgekehrten Vorgehensweise werden die kleinen Zahlenwerte im Ergebnis nicht ber\u00fccksichtigt. Realisiert man FIR-Filter ohne dies zu bedenken, verliert man die Eigenschaft der Linearphasigkeit.<\/p>\n

Bei der Festkomma-Arithmetik geht es darum mit m\u00f6glichst geringem Aufwand Berechnungen durchzuf\u00fchren. Dabei wird der Multiplizierer des Prozessors oder eines FPGAs genutzt. Divisionen sind aufgrund h\u00f6herer Rechenzeiten zu vermeiden. Abbildung\u00a02 (s.\u00a0PDF<\/a>) zeigt ein einfaches Beispiel f\u00fcr eine Festkommaberechnung. F\u00fcr result1 (Ganzzahlarithmetik) wird eine Berechnung mit Multiplikation und Division genutzt, f\u00fcr result2 (Festkomma-Arithmetik) wird die Division durch eine Schiebeoperation ersetzt, die in modernen Prozessoren als Bestandteil eines Speicherbefehls integriert ist. Festkomma-Arithmetik ist somit ein optimiertes Rechenverfahren, bei dem Divisionen nur mit Werten durchgef\u00fchrt werden, die sich als Zweierpotenz darstellen lassen.<\/p>\n

Darstellung der Zahlenwerte<\/h2>\n

Abbildung\u00a03 (s.\u00a0PDF<\/a>) zeigt den Aufbau von Festkommazahlen. Mit\u00a0x<\/em>\u00a0wird in\u00a0Qx<\/em>\u00a0die Position des Kommas angegeben. Die Nachkommastellen werden als\u00a0fractional bits<\/em>\u00a0bezeichnet. Ben\u00f6tigt man Zahlenwerte mit einem Wertebereich von gr\u00f6\u00dfer als eins, werden zus\u00e4tzlich\u00a0integer bits<\/em>\u00a0ben\u00f6tigt. Da jeder Zahlenwert\u00a0x<\/em>\u00a0m\u00f6glichst exakt dargestellt werden soll, werden so wenig wie m\u00f6glich\u00a0integer bits<\/em>\u00a0ni<\/sub><\/em>\u00a0f\u00fcr die Festlegung eines Zahlenwerts genutzt.<\/p>\n

Die ben\u00f6tigte Anzahl von\u00a0integer bits ni<\/sub>\u00a0<\/em>in einem Datenwort\u00a0x<\/em>\u00a0mit\u00a0n<\/em>\u00a0Bits errechnet sich dadurch, dass vom Betrag des Zahlenwerts der Zweierlogarithmus gebildet und auf ganze Bits aufgerundet wird. (s.\u00a0PDF<\/a>)<\/p>\n

Die Anzahl der Nachkommastellen\u00a0P<\/em>\u00a0einer QP<\/em>-Zahl ergibt sich zu: (s.\u00a0PDF<\/a>)<\/p>\n

Der \u00e4quivalente Integerwert\u00a0xi<\/sub><\/em>\u00a0einer Festkommazahl ergibt sich, indem der Zahlenwert\u00a0x<\/em>\u00a0durch die Aufl\u00f6sung der Zahl 2\u2013P<\/em><\/sup>\u00a0geteilt und gerundet wird. (s.\u00a0PDF<\/a>)<\/p>\n

Bei Berechnungen m\u00fcssen folgende einfache Regeln beachtet werden:<\/p>\n